悬索桥挠度理论非线性分析计算方法
关键词：悬索桥,挠度理论,结构设计,计算方法
悬索桥是一种传统的桥梁结构形式。由于它的跨越能力在各种桥梁结构形式中最大，故一直是大跨和特大跨桥梁的主要形式。悬索桥通常由承重缆索、支承缆索的索塔，锚固缆索的锚碇、直接承受交通荷载的加劲梁以及将加劲梁与缆索连在一起的吊杆组成，因而在理论上悬索桥应是索和梁的组合结构体系。但因悬索桥的跨度一般很大，加劲梁的刚度在全桥刚度中所占比重很小，故在受力本质上悬索桥属于柔性悬挂体系，它在外荷载作用下将产生相当大的变形，如仍按小变形理论进行线性分析，将不能反映实际结构的受力。因此，大跨度悬索桥的分析必须计入内力和结构变形的影响，否则将引起较大的误差。不过悬索桥和拱桥相反，不计入结构变形影响通常将导致缆索内力计算偏大而不是偏于不安全，这也是早期修建的一些悬索桥至今仍能使用的原因之一。
最初的悬索桥分析理论是弹性理论。弹性理论认为缆索完全柔性，缆索曲线形状及坐标取决于满跨均布荷载而不随外荷载的加载而变化，吊杆受力后也不伸长，加劲梁在无活载时处于无应力状态。弹性理论用普通结构力学方法即可求解，计算简便，至今仍在跨径小于200米的悬索桥设计中应用[1]。但弹性理论假定缆索形状在加载前后不发生变化，显然与悬索桥的可挠性不符，因此发展出计入变形影响的悬索桥挠度理论。
古典的挠度理论称为“膜理论”。它是将悬索桥的全部近视看成是一种连续的不变形的膜，当缆索产生挠度时，加劲梁也随之产生相同的挠度。由于根据作用于缆索单元上吊杆力与缆索拉力的垂直分力平衡以及作用于加劲梁单元上的外荷载及吊杆力与加劲梁弹性抗力平衡的条件建立力的平衡微分方程而求解。挠度理论和弹性理论的最大区别是摒弃了弹性理论中关于缆索形状不因外荷载介入而改变的假设，相应建立缆索在恒载下取得平衡的几何形状将因外荷载介入而改变及同时计入缆索因外荷载所增索力引起的伸长量的假设，极大的接近悬索桥主索的实际工作状态，对悬索桥的发展起到了很大的推动作用[2]。
悬索桥的挠度理论也是一种非线性的分析方法，至今仍不失为分析悬索桥的较简单实用的手段。但挠度理论在基本假设中忽略了吊杆的变位影响及加劲梁的剪切变形影响等，使分析结果的精度受到限制。随着计算方法、计算手段的发展，悬索桥的计算理论也发展到将悬索桥作为大位移构架来分析的有限位移理论。有限位移理论将整个悬索桥包括缆索、吊杆、索塔、加劲梁全部考虑在内，分析时可以将各种二次影响包括进去，从而使悬索桥的分析精度达到新的水平。
有限位移理论是20世纪60年代提出的计算理论。它是一种精确的理论，不需挠度理论所作的那些假定。其计算值一般要小于挠度理论[3]。根据参考文献，主跨为380m时，用有限位移理论计算的内力、挠度值，比挠度理论小10﹪；主跨768m时，在半跨加均布荷载的情况下，主跨四分点弯矩的绝对值，用有限位移理论计算值比挠度理论小26﹪.因此，在大跨径悬索桥（例如大于600m）的施工图设计中，有必要用有限位移理论进行计算。有限位移理论采用可考虑几何大变行的矩阵分析法求解。在刚度矩阵中，既考虑了节点坐标在加载过程中变化所产生的几何非线性影响，又用主缆在恒载下产生的初始轴向力，对刚度矩阵进行修正。至于缆索中的E值，应按Ernst公式取用[4]。具体的计算方法请参见参考文献。有限位移理论适用于带斜吊杆的悬索桥。对于一般的特大跨径悬索桥，可先用线性挠度理论法求的最不利和在位置，然后用有限位移理论计算最终的内力和挠度。把挠度理论于有限位移理论结合使用，既可节省机时，加快设计速度，又可提高设计精度。
悬索桥随着跨度的增大,柔性加大,在荷载作用下会呈较强的非线性,所以悬索桥宜采用非线性方法来进行结构分析。考虑悬索桥非线性因素的结构分析方法主要有挠度理论和有限位移理论。挠度理论考虑了悬索桥几何非线性的主要因素,可用比较简便的数值方法来分析,又有影响线可资利用,故很适用于初步设计阶段的结构设计计算。有限位移理论则全面地考虑了悬索桥几何非线性因素,计算结果较挠度理论精确,但计算过程复杂,直接用于设计计算有诸多不便和困难。本文利用挠度理论提出了悬索桥结构设计的实用计算方法,可简捷、有效地确定出悬索桥各部分的结构尺寸[5]。
挠度理论较弹性理论前进了一大步，但也还存在一些缺陷：
（1）忽略了吊杆的倾斜与伸长、节点的水平位移、加劲梁剪切变形的影响，使计算结果一般偏大。跨径越大，误差也越大。因此，在跨径超过600M时，还亦同时用有限位移理论进行计算。
（2）不能用于带斜吊杆悬索桥的分析计算。
1悬索桥挠度理论
挠度理论是一种古典的悬索桥结构分析理论。19世纪80年代，提出了挠度理论，首次在Mahattan桥设计中应用。和弹性理论不同，挠度理论考虑了恒载作用下主缆处内力对刚度的影响，以及活载作用下位移的非线性影响，使加劲梁的计算内力急挠度减小了很多。大体上400～500M的悬索桥，主跨跨中的弯矩减小35％以上；半跨均布荷载时，挠度减小50％以上。直至目前，仍是应用最广的方法。这种理论主要考虑悬索和加劲梁变形对结构内力的影响，在中小跨度范围内其计算结果比较接近结构的实际受力情况,具有较好的精度。同时,它也可以用于大跨度悬索桥的初步设计计算[6]。
1.1挠度理论的基本假定
（1）恒载为均布。恒载在加劲梁为无应力状态，主缆呈抛物线。
（2）吊杆竖直，不考虑其因活载而引起的延伸及倾斜。
（3）不计加劲梁的剪切变形。
（4）每一跨径内加劲梁为等截面。
（5）吊杆很密，当作仅在竖直方向有弹性抗力的膜。
（6）主缆及加劲梁均仅有竖直方向的变形。
1.2挠度理论基本微分方程
在这里只考虑缆索和加劲梁竖向挠度这个主要因素,忽略塔的变形、缆索的水平位移、吊杆的倾斜和伸长等因素的影响。在恒载(g)和活载(P(x))的作用下,缆索的水平拉力增加,同时它和加劲梁产生竖向挠度()。如果考虑对内力的影响,并假定加劲梁不承担恒载,则可推得加劲梁的挠曲微分方程为:
